Сначала найдем все целочисленные делители свободного члена 2: ±1, ±2.

Подставим в уравнение все целочисленные делители свободного члена и найдем, при каких значениях x=α уравнение равно 0. Подставим α=1 в уравнение:

1^3 - 41^2 + 51 + 2 = 1 - 4 + 5 + 2 = 4 ≠ 0,

α=-1 (1^-1):

(-1)^3 - 4(-1)^2 + 5(-1) + 2 = -1 - 4 - 5 + 2 = -8 ≠ 0,

α=2:

2^3 - 42^2 + 52 + 2 = 8 - 16 + 10 + 2 = 4 ≠ 0,

α=-2:

(-2)^3 - 4(-2)^2 + 5(-2) + 2 = -8 - 16 -10 + 2 = -32 ≠ 0.

Таким образом, при x=2 уравнение равно 0, следовательно x-2 является одним из множителей уравнения. Разделим исходное уравнение на (x-2) и найдем остаток, равный 0:

x^3 - 4x^2 + 5x + 2 = (x - 2)(x^2 - 2x - 1),

Определим корни квадратного уравнения x^2 - 2x - 1 = 0:

D = (-2)^2 - 41(-1) = 4 + 4 = 8, корни:

x1 = (2 + √8) / 2 и x2 = (2 - √8) / 2,

Следовательно, корнями уравнения x^3 - 4x^2 + 5x + 2 = 0 являются x1 = 2, x2 = 1 + √2 и x3 = 1 - √2.