Для решения этой задачи нам необходимо найти все четырёхзначные числа, удовлетворяющие условиям задачи.

Пусть наше четырёхзначное число имеет вид ABCD, где A, B, C и D - цифры числа. Тогда получаем уравнение: A + B + C + D = k^2, где k - натуральное число. Также известно, что квадраты натуральных чисел могут быть 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 и 100.

Пройдемся по всем возможным значениям суммы цифр и найдем числа, удовлетворяющие условиям задачи:

1 + 1 + 1 + 1 = 4 - в этом случае все цифры числа равны 1, таким образом, получаем число 1111.1 + 1 + 1 + 4 = 7 - в этом случае получаем числа 1114, 1141, 1411, 4111.1 + 1 + 4 + 4 = 10 - в этом случае получаем числа 1144, 1414, 1441, 4114, 4141, 4411.1 + 4 + 4 + 4 = 13 - в этом случае получаем числа 1444, 4144, 4414.4 + 4 + 4 + 4 = 16 - в этом случае все цифры числа равны 4, таким образом, получаем число 4444.

Таким образом, всего существует 10 четырехзначных чисел, удовлетворяющих условиям задачи.