Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом математической индукции.

База индукции: n=1
При n=1 значение a(1)=(12^1)+9+1=12+9+1=22. Делится ли 22 на 11? Да, это число кратно 11.

Предположение: пусть утверждение верно для некоторого натурального числа k, то есть a(k)=12^k+9+1 кратно 11.

Шаг индукции: докажем, что утверждение верно и для числа k+1.
a(k+1)=12^(k+1)+9+1=1212^k+9+1=12^212^(k-1)+9+1=14412^(k-1)+9+1=13212^(k-1)+1212^(k-1)+9+1=11(12^(k-1)+1)+12*12^(k-1)+9+1.

Осталось показать, что 11(12^(k-1)+1)+1212^(k-1)+9+1 делится на 11:
11(12^(k-1)+1)+1212^(k-1)+9+1= 1112^(k-1)+11+1212^(k-1)+9+1=11*(12^(k-1)+12)+9+1...

Таким образом, мы убедились, что для любого натурального n, выражение a(n)=12^(n)+9+1 кратно 11.