Для поиска безусловного экстремума данной функции z=3x^2-3xy +5y^3+x необходимо найти частные производные по переменным x и y, приравнять их к нулю и решить полученные уравнения.

Найдем частные производные функции z по переменным x и y:
∂z/∂x = 6x - 3y + 1,
∂z/∂y = -3x + 15y^2.

Теперь приравняем их к нулю:
6x - 3y + 1 = 0,
-3x + 15y^2 = 0.

Решим систему уравнений. Сначала из второго уравнения найдем выражение для x:
3x = 15y^2,
x = 5y^2.

Подставим это выражение для x в первое уравнение:
6$5y^2$ - 3y + 1 = 0,
30y^2 - 3y + 1 = 0.

Решим квадратное уравнение. Найдем значение y:
D = $-3$^2 - 4301 = 9 - 120 = -111.

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет рациональных корней, что означает, что система не имеет стационарных точек, следовательно безусловного экстремума нет.