Для доказательства того, что отрезок MN параллелен отрезку BC, рассмотрим два треугольника: треугольник ABC и треугольник AMN.

Из условия задачи имеем:
BN:NC=2:3
То есть, BN=2x и NC=3x, где x - коэффициент пропорциональности.

Также из условия задачи известно, что AM:AB=3:5, а AB=BC, так как AB и BC - стороны треугольника ABC.
Из пропорции AM:AB=3:5 образуем AM:BC=3:5.

Теперь рассмотрим отношения сторон треугольников ABC и AMN:
AB/AM=5/3
BC/MN=5/3

Из двух последних уравнений следует, что прямоугольные треугольники ABC и AMN подобны друг другу, а значит, отрезок MN параллелен отрезку BC.

Чтобы найти длину отрезка MN, рассмотрим треугольник AMC. Так как MN параллелен BC, по теореме Талеса получаем, что AM/MC=AN/NB=3/2. То есть, мы можем выразить длину отрезка MN через длины отрезков AM и MC: MN=3MC/2. Зная, что AC=30, мы можем найти длину отрезка MC и, соответственно, отрезка MN.