Для решения данного интеграла, мы можем воспользоваться методом интегрирования по частям.

Интеграл (\int (1-x)^2 \sqrt{x} \,dx) можно представить как (\int u \,dv), где:

(u = (1-x)^2) (берем (u) так, чтобы взять его производную)

(dv = \sqrt{x} \,dx) (берем (dv) так, чтобы взять его интеграл)

Теперь вычислим производную от (u):

(du = 2(1-x) \cdot (-1) \,dx = -2(1-x) \,dx)

А также найдем интеграл от (dv):

(v = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}})

Теперь можем применить метод интегрирования по частям:

(\int (1-x)^2 \sqrt{x} \,dx = uv - \int v \,du)

(\int (1-x)^2 \sqrt{x} \,dx = (1-x)^2 \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot (-2)(1-x) \,dx)

Выполняем интегрирование:

(\int (1-x)^2 \sqrt{x} \,dx = \frac{2}{3}(1-x)^2x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \int x^{\frac{3}{2}}(2-2x) \,dx)

(\int (1-x)^2 \sqrt{x} \,dx = \frac{2}{3}(1-x)^2x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3}\int (2x^{\frac{5}{2}} - 2x^{\frac{3}{2}}) \,dx)

(\int (1-x)^2 \sqrt{x} \,dx = \frac{2}{3}(1-x)^2x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} \left(\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}\right) + C)

(\int (1-x)^2 \sqrt{x} \,dx = \frac{2}{3}(1-x)^2x^{\frac{3}{2}} - \frac{8}{21} x^{\frac{7}{2}} + \frac{8}{15} x^{\frac{5}{2}} + C)

Итак, интеграл (\int (1-x)^2 \sqrt{x} \,dx) равен (\frac{2}{3}(1-x)^2x^{\frac{3}{2}} - \frac{8}{21} x^{\frac{7}{2}} + \frac{8}{15} x^{\frac{5}{2}} + C), где (C) - постоянная интегрирования.