Арифметическая прогрессия {an} с ненулевой разностью такова, что последовательность bn=an*ctgan также арифметическая прогрессия с ненулевой разностью. Найти возможные значения первого члена и разности прогрессии {an} , если для вснх n справедливо равенство cos an+cos3an+1=0 (везде н маленькая под буквой)
Арифметическая прогрессия {an} с ненулевой разностью такова, что последовательность bn=an*ctgan также арифметическая прогрессия с ненулевой разностью. Найти возможные значения первого члена и разности прогрессии {an} , если для вснх n справедливо равенство cos an+cos3an+1=0 (везде н маленькая под буквой)
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Дано:
{an} - арифметическая прогрессия с ненулевой разностью d,
bn = an * ctg(an) - арифметическая прогрессия с ненулевой разностью d.
Мы знаем, что bn = an * ctg(an).
Также дано равенство: cos an + cos(3an+1) = 0.
Так как cos(3an+1) = cos(3an)cos(1) - sin(3an)sin(1) = cos(3an) - sin(3an) * tg(1) = 4cos^3(an) - 3cos(an) - 4sin^3(an) + 3sin(an) = 4cos^3(an) - 4sin^3(an) - 3cos(an) + 3sin(an) = 4cos(an)sin^2(an) - 4sin(an)cos^2(an) - 3cos(an) + 3sin(an) = 4cos(an)sin(an)(sin(an) - cos(an)) - 3(cos(an) - sin(an)) = -3cos(an) + 3sin(an).
Подставляем это в исходное равенство: cos(an) - 3cos(an) + 3sin(an) = 0,
cos(an) + 3sin(an) = 0,
cos(an) = -3sin(an),
tg(an) = -3.
Так как tg(an) = d/(a + (n-1)d), т.е.
-3 = d/(a + (n-1)d),
a + (n-1)d = -d/3,
a + nd - d = -d/3,
a + (n-1)d = -d/3,
a = -d + (d/3) = 2d/3.
Итак, первый член прогрессии равен 2d/3, а разность прогрессии d = -3.