Для решения данного уравнения сначала приведем его к стандартному виду линейного дифференциального уравнения:

xy' + y = x^2ln(x)

Для этого разделим обе части уравнения на x:

y' + y/x = xln(x)

Теперь заметим, что уравнение выглядит так, как уравнение Бернулли. Чтобы решить уравнение Бернулли, сделаем замену y = u * x, где u - функция от x.

Тогда y' = u'x + u.

Подставим это в уравнение:

(u'x + u) + u*x = xln(x)

Упростим:

xu' + 2u = xln(x)

Теперь это уравнение можно решить, применив метод вариации постоянных. Представим решение в виде u = u1 + u2, где u1 - частное решение неоднородного уравнения, а u2 - общее решение соответствующего однородного уравнения.

Чтобы найти частное решение u1, предположим, что u1 имеет вид полинома первой степени:

u1 = Ax + B

Тогда u1' = A и u1'' = 0, подставим в уравнение:

Ax + 2B = xln(x)

Отсюда находим A и B:

A = ln(x)
B = 0

Поэтому, частное решение u1 = ln(x)x.

Теперь найдем общее решение однородного уравнения. Для этого решим уравнение:

xu' + 2u = 0

Это уравнение представляет собой уравнение вида y' + (2/x)y = 0, которое решается методом вариации постоянных. Предположим, что u2 = C/x, где C - некоторая константа.

Подставляем это в уравнение и находим C:

Cx/x + 2C/x = 0
C + 2C = 0
C = 0

Таким образом, общее решение однородного уравнения u2 = 0.

Итак, общее решение исходного уравнения:

u = u1 + u2 = ln(x)x

y = xln(x)x = x^2ln(x)

Решение уравнения xy'+y=x^2lnx - y=x^2ln(x)