Для начала находим точки пересечения кривых: y=x^2-2x+3 и y=3+x

Подставляем уравнения друг в друга:
x^2 - 2x + 3 = 3 + x
x^2 - x - 3 = 0
(x - 3)(x + 1) = 0
x1 = 3
x2 = -1

Теперь находим соответствующие y координаты:
y1 = 3 + 3 = 6
y2 = 3 - 1 = 2

Площадь фигуры между кривыми равна интегралу от разности соответствующих функций, взятому от наименьшего x до наибольшего:
S = ∫[(3+x) - (x^2-2x+3)]dx, от -1 до 3
S = ∫[3+x-x^2+2x-3]dx, от -1 до 3
S = ∫[2x-x^2]dx, от -1 до 3
S = [ x^2 - (x^3)/3 ] от -1 до 3
S = [(3)^2 - (3^3)/3] - [(-1)^2 - ((-1)^3)/3]
S = [9 - 9] - [1 + 1/3]
S = -1/3

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2-2x+3 и y=3+x равна -1/3.