Слово "летнего" пишется с буквой "е" на конце из-за того, что это форма родительного падежа мужского рода прилагательного "летний". В русском языке прилагательные изменяются по падежам, числам и родам, поэтому в зависимости от того, какое слово за ним следует и в какой форме оно находится, само прилагательное тоже будет изменяться.