Если мы говорим о том, что человек заболел, то правильно говорить простудился, то есть подхватил простуду.

Простыть $разговорное$ — это остыть, охладиться, стать холодным. Например, чай простыл.

Употреблять это слово, говоря о человеке, в значении озябнуть, подхватить простуду — это просторечие.

А еще существует устаревшее значение, когда о человеке говорят «простыл» — то есть успокоился, охладел: «Пущусь подалее простыть, охолодеть», А.С. Грибоедов.

Особняком стоит идиома «след простыл» — так говорят о бесследном исчезновении кого-либо или чего-либо.

Итак, если мы говорим о том, что человек заболел, следует употреблять слово простудился.