Задыхаясь:

Приставка: за- (обозначает направление действия).
Корень: дых- (от слова "дышать").
Суффикс: -а- (показывает, что это глагол в настоящем времени).
Суффикс: -ясь (обозначает наклонение - приставка к глаголам, образует причастие настоящего времени в форме действительного залога).