По условию, ускорение частицы меняет направление через время τ. За это время частица приобретает скорость V = ατ и проходит путь S1 = (1/2) α τ^2.

После изменения ускорения на противоположное, частица движется с ускорением 2α. Чтобы остановиться и вернуться в начальное положение, ей нужно пройти такой же путь S2 = S1.

Таким образом, путь, пройденный частицей за все время движения, равен 2S1 = ατ^2.

Чтобы найти время, через которое частица вернется в начальное положение, можно использовать следующее рассуждение: за время τ частица проходит полный период движения (1 половина с ускорением α, вторая половина с ускорением 2α). Следовательно, время, через которое частица вернется в начальное положение, равно 2τ.

Таким образом, частица снова окажется в начальном положении через 2τ, а путь, пройденный ей за все время движения, равен 2α * (2τ)^2 = 8ατ^2.