Да, запятая ставится после фразы "как и обещала" в данном случае. Таким образом, правильный вариант будет выглядеть следующим образом: "Как и обещала, Лина сделала все в срок". В данном случае запятая ставится перед именем, чтобы выделить вводное выражение.