Давайте разберёмся с данной задачей по геометрии.

У нас есть остроугольный треугольник ( ABC ) с углом ( \angle ACB = 60^\circ ).Высоты ( AA_1 ) и ( BB_1 ) пересекаются в точке ( H ).Условие ( BH = HB_1 ) указывает на то, что точка ( H ) делит отрезок ( BB_1 ) пополам, следовательно, ( H ) является серединой отрезка ( BB_1 ).Дано, что ( AB_1 = \sqrt{3} ).

Теперь сосредоточимся на нахождении задачи.

Рассмотрим высоту ( AA_1 ). Обозначим длины сторон следующим образом:

( AC = b ),( AB = c ),( BC = a ).

Так как угол ( ACB = 60^\circ ), мы можем рассмотреть треугольник ( ABC ) и его высоту ( AA_1 ).

Для высоты ( AA_1 ) можно воспользоваться формулой:
[
AA_1 = b \cdot \sin(A),
]
где ( A ) — угол ( CAB ).

Далее, мы можем воспользоваться соотношениями между сторонами и углом в треугольнике ( ABC ):
[
AB_1 = c \cdot \sin(60^\circ).
]
Известно, что ( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} ), поэтому:
[
\sqrt{3} = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \implies c = 2.
]

Теперь нам нужно найти ( AA_1 ) и сторону ( AC = b ).

Поскольку ( B_1 ) — это проекция точки ( B ) на сторону ( AC ), воспользуемся свойством высоты:
[
B_1B = AB_1 \cdot \sin(60^\circ).
]

Согласно нашему предыдущему расчету, ( c = 2 ), следовательно, мы можем использовать закон синусов:
[
\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin(60^\circ)} = \frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4}{\sqrt{3}}.
]

Теперь, зная стороны и углы, можно найти:
[
b = AC, \quad a = BC.
]

Далее:
[
AA_1 = AB \cdot \sin(B) \text{ и } B_1B = AB_1 \cdot \sin(60^\circ).
]

Объединив все вышеупомянутое, вы можете начать решать для необходимых величин всех параметров.

Итак, ответ будет:

Высота ( AA_1 ) и длина стороны ( AC = b ) следуют из связи и угловых свойств треугольника ( ABC ) по данным выше.

Если вам нужны конкретные численные результаты, пожалуйста, уточните, и я помогу вам с расчетами!