Вы правы, предложение «Осторожнее. Не бегай так сильно» звучит не совсем корректно. В данном контексте правильнее использовать слово «быстро».

Слово «сильно» обычно применяется для обозначения интенсивности, силы какого-либо действия или состояния, например: «он сильно ударил» или «сильно жарко». В то время как «быстро» указывает на скорость выполнения действия, что как раз и соответствует смыслу бега.

Правило, которое можно применить здесь, касается употребления наречий. Слово «быстро» описывает, как именно происходит действие (в данном случае, бег). Поэтому в вашем примере правильнее будет сказать «Не бегай так быстро», так как это более точно отражает смысл того, что следует избегать высокой скорости бега.