Для нахождения выражения $22\sin 2\alpha$ при заданном $\tan \alpha =\sqrt{10}$ воспользуемся тригонометрическими тождествами.

Известно, что

$$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha .$$

Сначала найдем $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$. Поскольку $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\sqrt{10}$, можем выразить $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$ через одну из сторон прямоугольного треугольника. Например, пусть:

$$\sin \alpha =\sqrt{10}\cos \alpha .$$

Воспользуемся отношением:
$${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1.$$

Подставим $\sin \alpha$:

$$(\sqrt{10}\cos \alpha {)}^2+{\cos }^2\alpha =1,$$ $$10{\cos }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1,$$ $$11{\cos }^2\alpha =1.$$

Отсюда находим $\cos \alpha$:

$${\cos }^2\alpha =\frac{1}{11}⟹\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{11}}.$$

Теперь найдем $\sin \alpha$:

$$\sin \alpha =\sqrt{10}\cos \alpha =\sqrt{10}\cdot \frac{1}{\sqrt{11}}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{11}}.$$

Теперь можем найти $\sin 2\alpha$:

$$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =2\cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{11}}\cdot \frac{1}{\sqrt{11}}=2\cdot \frac{\sqrt{10}}{11}.$$

Теперь подставим это в выражение $22\sin 2\alpha$:

$$22\sin 2\alpha =22\cdot 2\cdot \frac{\sqrt{10}}{11}=\frac{44\sqrt{10}}{11}=4\sqrt{10}.$$

Таким образом, ответ:

$$\boxed{4\sqrt{10}}.$$