Для нахождения площади треугольника с известными двумя сторонами и углом между ними можно воспользоваться формулой:
[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C)
]
где (S) — площадь треугольника, (a) и (b) — длины сторон, а (C) — угол между ними.

В нашем случае:

Сначала найдём синус угла:
[
\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}.
]

Теперь подставим значения в формулу:
[
S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 15 \cdot \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 15 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 15 \cdot 0.5 = \frac{30}{2} = 15 \text{ см}^2.
]

Теперь найдем длину третьей стороны (c) с помощью теоремы косинусов:
[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C).
]
Сначала найдем косинус угла:
[
\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}.
]

Теперь подставим значения:
[
c^2 = 4^2 + 15^2 - 2 \cdot 4 \cdot 15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}.
]

Вычислим это:
[
c^2 = 16 + 225 - 60\sqrt{3}.
]

Теперь вычислим (c):
[
c = \sqrt{241 - 60\sqrt{3}}.
]

Таким образом, площадь треугольника равна (15 \text{ см}^2), а длина третьей стороны:
[
c = \sqrt{241 - 60\sqrt{3}} \text{ см}.
]