Дополнения в вашем предложении можно выделить следующим образом:

Старик ловил неводом рыбу.

Дополнение: "неводом" и "рыбу".

Спорить с ним я никогда не мог.

Дополнение: "с ним".

Все просили ее спеть что-нибудь.

Дополнение: "ее" и "что-нибудь".

Если нужны более подробные разъяснения или примеры, дайте знать!