Для решения задачи о треугольнике с вершинами ( A(-6, 1) ), ( B(4, -5) ) и ( C(-14, -1) ) мы выполним каждый пункт по порядку.

1. Уравнение стороны ( AB ) и длина этой стороны.

Шаг 1: Найдем уравнение прямой, проходящей через точки ( A ) и ( B ).

Для нахождения уравнения прямой в общем виде ( Ax + By + C = 0 ), сначала определим угловой коэффициент ( k ):
[
k = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-5 - 1}{4 - (-6)} = \frac{-6}{10} = -\frac{3}{5}
]

Теперь используем точку ( A(-6, 1) ) и уравнение прямой в виде:
[
y - y_1 = k(x - x_1)
]
[
y - 1 = -\frac{3}{5}(x + 6)
]
Упрощаем:
[
y - 1 = -\frac{3}{5}x - \frac{18}{5}
]
[
y = -\frac{3}{5}x - \frac{13}{5}
]
Перепишем в общем виде:
[
3x + 5y + 13 = 0
]

Шаг 2: Теперь найдем длину стороны ( AB ):
[
AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}
]
[
AB = \sqrt{(4 - (-6))^2 + (-5 - 1)^2} = \sqrt{(4 + 6)^2 + (-6)^2} = \sqrt{10^2 + (-6)^2} = \sqrt{100 + 36} = \sqrt{136} = 2\sqrt{34}
]

2. Уравнение высоты ( BD ) и длина этой высоты.

Находим координаты точки ( D ), которая лежит на прямой ( AC ).

Шаг 1: Найдем уравнение прямой ( AC ):
Коэффициент угла:
[
k_{AC} = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{-1 - 1}{-14 - (-6)} = \frac{-2}{-8} = \frac{1}{4}
]
Уравнение:
[
y - 1 = \frac{1}{4}(x + 6)
]
[
y - 1 = \frac{1}{4}x + \frac{3}{2}
]
[
y = \frac{1}{4}x + \frac{5}{2}
]
Перепишем в общем виде:
[
x - 4y + 5 = 0
]

Шаг 2: Теперь найдем нормальный вектор к ( AC ), который дает направление для высоты ( BD ). Нормальный вектор:
[
(1, -4)
]

Шаг 3: Уравнение высоты:
[
(x_B - x)(1) + (y_B - y)(-4) = 0
]
С подстановкой координат точки ( B(4, -5) ):
[
(4 - x) + 4(y + 5) = 0
]
[
4y - x + 24 + 4 = 0 \Rightarrow -x + 4y + 28 = 0
]

Теперь найдём длину высоты ( BD ) с помощью расстояния от точки ( B ) до прямой ( AC ):
[
\frac{|A \cdot x_B + B \cdot y_B + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{|1 \cdot 4 + (-4) \cdot (-5) + 5|}{\sqrt{1^2 + (-4)^2}} = \frac{|4 + 20 + 5|}{\sqrt{1 + 16}} = \frac{29}{\sqrt{17}}.
]

3. Уравнение медианы ( AM ).

Шаг 1: Найдем координаты точки ( M ) - середины отрезка ( BC ):
[
M\left(\frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}\right) = \left(\frac{4 + (-14)}{2}, \frac{-5 + (-1)}{2}\right) = \left(\frac{-10}{2}, \frac{-6}{2}\right) = (-5, -3)
]

Шаг 2: Уравнение медианы ( AM ):
Коэффициент угла:
[
k_{AM} = \frac{-3 - 1}{-5 - (-6)} = \frac{-4}{1} = -4
]
Уравнение:
[
y - 1 = -4(x + 6)
]
[
y - 1 = -4x - 24 \Rightarrow y = -4x - 23
]

4. Прямая, параллельная стороне ( AB ).

Используя угловой коэффициент ( k = -\frac{3}{5} ), уравнение, проходящее через точку пересечения медиан, задается как:
[
y - (-3) = -\frac{3}{5}(x - (-5))
]
[
y + 3 = -\frac{3}{5}(x + 5) \Rightarrow y = -\frac{3}{5}x - 6 - 3 \Rightarrow y = -\frac{3}{5}x - 9.
]

5. Находим угол ( A ).

Используем формулу для угла между векторами:
[
\cos A = \frac{(B - A) \cdot (C - A)}{|B - A| |C - A|}
]
Где:
[
B - A = (4 - (-6), -5 - 1) = (10, -6)
]
[
C - A = (-14 - (-6), -1 - 1) = (-8, -2)
]
Скалярное произведение и длины:
[
(10, -6) \cdot (-8, -2) = 10 \cdot (-8) + (-6) \cdot (-2) = -80 + 12 = -68,
]
[
|B - A| = \sqrt{10^2 + (-6)^2} = \sqrt{100 + 36} = \sqrt{136},
]
[
|C - A| = \sqrt{(-8)^2 + (-2)^2} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68}.
]
Теперь подставляем в формулу:
[
\cos A = \frac{-68}{\sqrt{136} \cdot \sqrt{68}}.
]

Такое значение может быть использовано для нахождения угла ( A ). Если точные вычисления необходимы, используйте калькулятор или программное обеспечение для численного вычисления.