Синтаксический разбор предложения "Даже княгиня Лиговская, несмотря на то что дочь её больна, взяла для себя билет." можно провести следующим образом:

Общая структура предложения:

Тип: сложноподчинённое предложение.Главная часть: "Даже княгиня Лиговская взяла для себя билет."Придаточная часть: "несмотря на то что дочь её больна".

Разбор главной части:

Даже – вводное слово, усиливающее значение (частица).княгиня Лиговская – подлежащее:
"княгиня" – существительное, главный член."Лиговская" – прилагательное, определение.взяла – сказуемое, глагол совершенного вида, прошедшего времени, в форме 3-го лица единственного числа.для себя – обстоятельственный оборот:
"для" – предлог."себя" – местоимение, дополнение.билет – дополнение, существительное.

Разбор придаточной части:

несмотря на то что – сложный предлог, вводящий придаточную часть.то – местоимение, подлежащее придаточного.что – союз, вводящий придаточное предложение.дочь её – подлежащее придаточного:
"дочь" – существительное."её" – местоимение, определение (притяжательное).больна – сказуемое, прилагательное в форме женского рода (простой инфинитив).

Таким образом, конструкция предложения сочетает в себе сложную структуру с использованием разных синтаксических элементов и показывает смысловую связь между главной и придаточной частями.