Правильный вариант — «в течение дня». В данном случае «в течение» является устойчивым словосочетанием, обозначающим промежуток времени.

Слово «в течение» состоит из предлога «в» и существительного «течение» (в значении «продолжение, протекание»), которое в данном контексте употребляется в родительном падеже. Поэтому использовать их слитно, как в варианте «втечении», является ошибкой.

Контрпримеры:

Правильное: «в течение недели»Правильное: «в течение года»

Таким образом, правильное написание — «в течение дня», а ошибочное слитное написание — «втечении дня» — не существует в русского языка.