Разбор по пунктам.

1) Синтаксическая основа каждой части

Первая часть: «Он любит рыбалку.» Синтаксическая основа — подлежащее + сказуемое: он (подлежащее) — любит (сказуемое). «Рыбалку» — прямое дополнение.Вторая часть в исходной форме «она — охоту.» формально — эллиптическая (неполная) конструкция. Явно выражено подлежащее «она» и дополнение «охоту», а сказуемое опущено (понимается из контекста). То есть полноценных основы (подлежащее + сказуемое) в явном виде во второй части нет; подразумеваемая основа: «она (любит)».

2) Почему ставится тире

Тире здесь выполняет функцию обозначения пропуска (эллипсиса) сказуемого: оно замещает опущенный глагол (обычно повторяющийся из первой части — «любит»). Дополнительно тире подчёркивает паузу и контраст/противопоставление двух однородных действий/вкусов (парный, синтаксически параллельный ряд). Стилистически и пунктуационно это обычный прием: в параллельных кратких предложениях, где повтор сказуемого опускается, ставят тире перед вторым дополнением (см. правила Розенталя — тире при пропуске сказуемого).

3) Варианты восстановления пропущенного члена
Допустимые варианты восстановления зависят от смысла; наиболее естественный — повтор предыдущего сказуемого:

Он любит рыбалку, она любит охоту. (полное восстановление — однокоренное сказуемое «любит»).
Можно восстановить и другим глаголом, близким по смыслу:Он любит рыбалку, она предпочитает/нравится ей — охоту. (предпочитает охоту; потребуется согласование формы)
Обратите внимание на изменение падежа при замене глагола:«Она занимается охотой» — здесь дополнение должно стать в творительном падеже («охотой»), поэтому прямая подстановка «она (занимается) охоту» некорректна.
Также возможна реставрация в виде именного сказуемого:Он любит рыбалку, она — любительница охоты. (тогда тире выполняет роль связи между подлежащим и именным сказуемым).
Ещё вариант с союзом для явного противопоставления:Он любит рыбалку, а она — охоту.

Кратко: в оригинальном предложении тире указывает на пропуск сказуемого (обычно «любит»), при восстановлении можно повторить это сказуемое или поставить другое, совместимое по синтаксису (учитывая падеж дополнения).