Правильно: «Я знаю, что он придёт завтра».

Почему:

Здесь «что» — подчинительный союз, вводящий придаточное изъяснительное предложение «что он придёт завтра», которое зависит от главного «Я знаю». Запятая ставится на границе главного и придаточного предложения, т. е. перед союзом, а не после него. Поэтому нужно «Я знаю, [запятая] что он придёт завтра».

Дополнения и возможные случаи путаницы:

Запятая не ставится после союза: «Я знаю что, он…» — это неправильно, потому что союз «что» принадлежит придаточному и не отделяется запятой от него. «Что» может быть не союзом, а местоимением/частицей в других конструкциях (например, «Он сказал что-то», «Не то что…»). В таких случаях правила расстановки запятых другие. Пример похожей конструкции: «То, что он пришёл, меня удивило» — здесь запятая стоит перед «что», потому что придаточное «что он пришёл» поясняет слово «То» и отделяется от остальной части предложения.