В данном предложении слово «бегущий» — причастие (действительное причастие настоящего времени). Ниже — морфологический и синтаксический разбор предложения и краткие критерии, как отличить причастие от прилагательного.

1) Морфологический разбор по словам

Бегущий — часть речи: причастие (действительное причастие настоящего времени), полная форма; образовано от глагола бежать (несов. вид, непереходный); форма: именительный падеж, ед. число, муж. род (согласуется с «мужчина»); суффикс причастия -ущ-/-ющ-.по — предлог.дорожке — существительное «дорожка», жен. род, ед. число, дательный падеж (требуется предлогом «по»); в сочетании с предлогом «по дорожке» — зависимое слово причастия.мужчина — существительное, муж. род, ед. число, именительный падеж; синтаксическая роль — подлежащее.остановился — глагол-сказуемое, совершенный вид, прошедшее время, 3-е лицо, ед. число, муж. род, возвратная форма (-ся); простое глагольное сказуемое.

2) Синтаксический разбор (грамматическая структура)

Предложение двусоставное: подлежащее — «мужчина», сказуемое — «остановился».«Бегущий по дорожке» — определение, выраженное причастным оборотом (причастие «бегущий» с зависимым словом «по дорожке»), стоит перед определяемым словом («мужчина») и согласуется с ним в роде, числе и падеже. Как причастный оборот, он не отделён запятыми (оборот стоит перед существительным и является необходимым определением).

3) Почему это причастие, а не прилагательное — признаки

Наличие зависимого слова, характерного для глагола: «по дорожке» отвечает на вопрос места действия и связано как обстоятельство к действию «бегает/бежит». Прилагательное так строиться обычно не может (прилагательное не имеет зависимых слов типа дополнений или обычных обстоятельств места действия — «по дорожке»).Перестановка в развернутое предложение: можно заменить причастный оборот относительным придаточным или причастным: «Мужчина, который бежал по дорожке, остановился.» Такое развернутое построение подтверждает глагольный характер определения.Семантика: причастие передаёт совершаемое действие (мужчина в момент говорения/в описываемой ситуации бежал по дорожке). Прилагательное бы обозначало признак, свойство, постоянное качество (например «бегущий» как устойчивое эпитетическое прилагательное встречается редко и выглядело бы странно).Формальные тесты: причастия сохраняют глагольные зависимые слова и формообразующие суффиксы (-ущ-, -ющ-, -вш-, -нн- и т. п.). Прилагательное обычно может образовывать степени сравнения и короткие формы (не всегда надёжно), причастие настоящего действительного залога не имеет краткой формы — ещё один косвенный признак.

Коротко: в предложении «Бегущий по дорожке мужчина остановился» «бегущий» — действительное причастие настоящего времени; вместе с «по дорожке» оно образует причастный оборот, выполняющий роль определения к слову «мужчина».