«На хвосте» — не одно слово, а словосочетание: предлог + существительное в предложном падеже. Разбор по частям:

1) на

часть речи: предлог; неизменяемое; отвечает на вопрос «где?» (обозначает местонахождение).

2) хвосте

часть речи: существительное; лексическая форма (начальная): хвост; разряд: нарицательное; одушевлённость: неодушевлённое; род: мужской; число: единственное; падеж: предложный; склонение: II (второе); ударение: на «о» — хво́сте.

Синтаксически всё сочетание «на хвосте» обычно выполняет роль обстоятельства места (отвечает на вопрос «где?»): например, в предложении «Кот сидел на хвосте» — «на хвосте» = обстоятельство места. В переносных значениях (например, «держаться на хвосте» = «идти по пятам») синтаксическая роль та же — обстоятельство.