Правильно: «на следующей неделе».

Короткое объяснение:

Когда говорим «когда?» (время), после «на» ставим предложный падеж: «на следующей неделе» — = «находясь/произойдёт в следующую неделю (в течение неё)».
Примеры: «Я приеду на следующей неделе.» «На следующей неделе у меня много дел.»

Если говорим «перенести/назначить на какую неделю?» (куда/на что — цель), часто используют винительный: «на следующую неделю».
Примеры: «Перенесите встречу на следующую неделю.» «Запланируем это на следующую неделю.»

Аналогично: «на прошлой неделе» / «на прошлую неделю», «на этой неделе» / «на эту неделю».