Исправленный вариант:
Я видел, как он побежал в парк и начал кричать, что потерял кошелёк.

Пояснения к правкам:

Удалил повторное «он» (из «и он начал» → «и начал»).

Обоснование: союз «как» вводит придаточное предложение, в котором у нас один подлежа‑щ и две сказуемые: «побежал» и «начал (кричать)». Повторять местоимение не нужно; если его оставить, это создаст две однородные придаточные или потребует перестройки пунктуации.

Поставил запятую перед «что» (…кричать, что потерял кошелёк).

Обоснование: придаточное предложение, начинающееся союзом «что» и зависящее от глагола речи «кричать», отделяется запятой.

Не поставил запятую перед «и» (…парк и начал…).

Обоснование: «и» соединяет два сказуемых в одном придаточном («как он побежал … и начал …»), поэтому запятая не нужна. Если же оставить «он» и считать вторую часть отдельным предложением, то нужна запятая: «Я видел, как он побежал в парк, и он начал кричать, что потерял кошелёк.» — но это несколько меняет структуру/интонацию.

Примечание: написание «кошелёк» с буквой «ё» корректно (в разговорной и неформальной печати часто заменяют на «е», но в нормативной орфографии «ё» уместно).