Коротко — через дефис. Правило и объяснение:

1) «Вице-» — заимствованный компонент (аналог английского/латинского vice-), при образовании названий должностей и титулов он пишется через дефис: вице-президент, вице-премьер, вице-губернатор, вице-адмирал, вице-мэр и т. п. Дефис фиксирует границу между заимствованной первой частью и словом-основой.

2) Следствие для ваших вариантов:

вице-президент — правильно (через дефис);«вицекороль» — неправильно; правильно «вице-король».

3) Примеры: вице-президент компании, вице-премьер правительства, вице-губернатор области, вице-президент по финансам. Во множественном числе и при склонении дефис сохраняется: вице-президенты, у вице-президента.

(Замечание: аналогично пишутся и другие сходные компоненты-«внешние» частицы: экс-президент, вице- и экс- традиционно оформляются через дефис.)