1) Почему оборот обособляется

«взяв сумку» — это деепричастный оборот (деепричастие + зависимые слова). По правилу русского языка деепричастные обороты обозначают добавочное действие (образ, время или причину) и грамматически являются обособленными членами предложения, поэтому выделяются запятыми: Она, взяв сумку, вышла / Взяв сумку, она вышла.

2) Можно ли перестроить без обособления и как изменится смысл
Прямо писать «Она взяв сумку вышла» в нормативной пунктуации нельзя — такой вариант считается ошибочным (обособление деепричастного оборота обязательно). Но то же содержание можно передать другими конструкциями без деепричастного оборота, и при этом смысл немного меняется:

«Она взяла сумку и вышла.» — два равноправных действия в последовательности: сначала взяла, потом вышла. Здесь акцент на последовательности действий.«Она вышла с сумкой.» — описание состояния/результата: факт того, что у неё была сумка во время выхода; действие «взять» не в фокусе.«Взяв сумку, она вышла.» (с запятой) — деепричастный оборот подчёркивает сопутствующее или предшествующее действие, часто делает акцент на способе/обстоятельстве («having taken the bag, she left»). Разница с «взяла сумку и вышла» в том, что деепричастие связывает действия более тесно (одно сопровождает или предшествует другому и выступает как обстоятельство).

Итого: в исходном предложении оборот обособляется по правилу; убрать запятую, оставив тот же словесный состав, нельзя — нужно перестроить фразу, и при этом смысл смещается (последовательность действий или описание состояния вместо обстоятельства/сопровождения).