Коротко — правило и проверка, затем примеры.

1) "вследствие" (слитно) — это предлог, означает «из‑за», «в результате», отвечает на вопрос почему? и управляет родительным падежом:

Вследствие плохой погоды матч отменили. (проверка: можно заменить на «из‑за/в результате»)Вследствие опоздания поезд ушёл без нас.

2) "в следствие" / "в следствии" (раздельно) — это сочетание предлога "в" + существительного "следствие" (куда? — в (кого?) следствие — винительный; где? — в следствии — предложный). Значение — «в (какую-либо) следственную организацию» или «в процессе следствия»; часто вместо него лучше употреблять «в ходе следствия»:

Подозреваемого доставили в следствие для допроса. (куда? — в следствие; = в следственное управление)В следствии (или лучше: в ходе следствия) обнаружили новые улики. (где? — в следствии; = в процессе расследования)

Обратите внимание: написание слитно ("вследствие") и раздельно ("в следствие/в следствии") различается по смыслу: первый — причина, второй — место/процесс.

3) "в течение" (раздельно) — предлог, означает «в продолжение», «на протяжении», управляет родительным падежом:

В течение трёх дней шёл дождь. (проверка: можно заменить на «на протяжении/в продолжение»)В течение года проект был приостановлен.

4) "в течении" (раздельно, с окончанием -ии) — это предлог "в" + существительное "течение" в предложном падеже, означает «в потоке/в русле, в данном течении (чего‑то)»; употребляется, когда речь о самом течении (реки, процесса, литературном течении) и обычно с определяющим словом (в этом, в данном):

В этом течении реки образовался омут. (о потоке воды)В данном течении европейской мысли такие идеи не встречаются. (о направленности, течении — с указательным словом)
Важно: если вы хотите сказать «на протяжении трёх дней», надо писать "в течение трёх дней", а не "в течении трёх дней".

Несколько пар примеров для сравнения (правильно/неправильно и пояснение):

Вследствие болезни он не пришёл. (правильно — причина)

*В следствие болезни он не пришёл. (неправильно — если хотели сказать «из‑за»)

В следствие его доставили для допроса. (правильно — куда доставили)

*Вследствие его доставили для допроса. (бессмысленно — «из‑за него доставили»)

В течение недели я читал книгу. (правильно — на протяжении недели)

*В течении недели я читал книгу. (неправильно; выглядит так, будто речь о каком‑то потоке)

В течении реки заметны были завихрения. (правильно — о потоке воды; можно уточнить «в течении реки»)

*В течение реки заметны были завихрения. (неправильно в этом значении)

Резюме:

"вследствие" (слитно) = причина (из‑за). "в следствие/в следствии" (раздельно) = в + существительное "следствие" (куда/где — место или процесс расследования). "в течение" (две слова) = на протяжении (временной промежуток). "в течении" (раздельно, с -ии) = в (чём?) течении — о потоке/направлении; чаще с указателем (в этом, в данном).

Если сомневаетесь: попытайтесь заменить на «из‑за/в результате» (для "вследствие") или на «на протяжении/в продолжение» (для "в течение"). Если замена возможна — пишите соответствующе.