Коротко — правильно так:

всё-таки (частица, пишется через дефис; ё сохраняет смысл и рекомендуема, но часто заменяется е: все-таки); по‑новому (через дефис — когда это наречие «как?» = «иным образом»); по новому — раздельно, когда «по» — предлог, а «новому» — форма прилагательного (обычно при согласованном существительном: по новому плану, по новому закону).

Почему так и как проверить — правила и критерии.

1) «всё-таки / все-таки»

Это одиночная частица со значением «всё же, тем не менее». Пишется через дефис: всё-таки. Буква ё в слове «всё» нормативно пишется (в печатных текстах часто заменяют е: все-таки). Если хотите избежать двусмысленности — ставьте ё.Не путать с сочетанием «всё ещё» (значение «до сих пор»): оно пишется раздельно: всё ещё.

Примеры:

Она, всё-таки, согласилась. (тем не менее)Он всё ещё спит. (до сих пор — раздельно)

2) «по‑новому / по новому»

Наречие образованное по‑ + прилагательное в дательном окончании (-ому / -ему) и отвечающее на вопрос «как?» пишется через дефис: по‑новому, по‑старому, по‑хорошему, по‑моему (в значении «как мне кажется»), по‑русски.
Проверка: если можно задать вопрос «как?», нужен наречный смысл — дефис.Раздельное написание «по новому» — это предлог «по» + прилагательное в дательном падеже, обычно входит в сочетание с существительным: по новому расписанию, по новому закону. Здесь «новому» относится к существительному, это не наречие.

Примеры:

Он сделал всё по‑новому. (как? — по‑новому = иначе)По новому расписанию занятия начнутся в 9. (по чему? — по расписанию)

3) Общие критерии для дефиса, слитно и раздельно в подобных сочетаниях

Дефис ставится:
в частицаx/местоименно-частичных сочетаниях как «всё-таки», «кое-как», «кто-то», «что-то»;в наречиях, образованных с помощью по- + прилагательное в дательном окончании (-ому, -ему): по-новому, по-хорошему;в наречиях на -ски, -цки после по-: по-русски, по-европейски.Раздельно пишется, когда «по» — предлог и впереди — формально зависимое прилагательное или существительное в дательном падеже: по старому образцу, по новому закону, по последним данным.Слитно (без дефиса) обычно пишутся иные слова, образованные приставками или в составе корня: например впервые, вперёд, вместе (это отдельная группа — общие слова-наречия; с по‑ не связаны).

Полезный тест: заменить на синонимичное наречие или задать вопрос «как?»

если да → вероятно по‑... (дефис), если нет, и есть зависимое существительное → раздельно (по + дательный).

Если нужно, могу привести дополнительную таблицу с типичными примерами и проверочными вопросами.