Слово «прочитав» в предложении «Прочитав книгу, он долго молчал.» — деепричастие совершенного вида $деепричастиепрошедшеговремени$, то есть невозвратная наречная форма глагола, выражающая сопутствующее/предшествовавшее действие.

Подтверждающие тесты и переформулировки:

Замена придаточным предложением времени:

Прочитав книгу, он долго молчал. → Когда он прочитал книгу, он долго молчал.или: → После того как он прочитал книгу, он долго молчал.
Такая замена характерна для деепричастного оборота $внёмвыраженообстоятельствовремени/условия$.

Синтаксическая роль: деепричастие выражает обстоятельство, а не определение:

Деепричастие отвечает на вопросы «сделав что?» / «как?» / «что сделав?» — здесь «прочитав $что?$ книгу».Причастие $определение$ отвечало бы на вопрос «какой?» / «что сделавший?» — например, «прочитавший» $тот,ктопрочитал$ или «прочитанная книга» $какая?—прочитанная$.

Невозможность употребления в атрибутивной позиции с согласованием:

Неправильно: «прочитав книга» или «прочитавшийая книга» — деепричастие не согласуется с существительным.Для выражения признака используются причастные формы: «прочитанная книга» $причастиестрадательное$, «прочитавший книгу студент» $действительноепричастие$.

Морфологический тест $образованиеформы$:

«прочитал» $формапрош.времени$, «прочитав» = основа инфинитива прочитать + суффикс -в $типичнодлядеепричастийсовершенноговида;см.«прочитавши»—устар.$.Причастия имеют другие суффиксы: -вший $прочитавший$, -нн-, -т- $прочитанная$.

Зависимость подлежащего: деепричастный оборот должен относиться к субъекту главного предложения:

Правильно: «Прочитав книгу, он долго молчал.» $подлежащее«он»—исполнительобоихдействий$.Неправильно $ошибкасо«встречнымдеепричастием»$: *«Прочитав книгу, книга лежала на столе.» — бессмысленно, показывает, что это не определение, а обстоятельство, связанное с субъектом основного сказуемого.

Можно модифицировать деепричастие обстоятельствами:

«Быстро прочитав книгу, он долго молчал.» — допустимо; причастие так не употребляется в той же функции.

Контраст с причастием $наглядно$:

Прочитав $деепричастие$: Прочитав книгу, он долго молчал. $обстоятельство$Прочитавший $действительноепричастие$: Прочитавший книгу студент уснул. $определение—«которыйпрочитал»$Прочитанная $страдательноепричастие$: Прочитанная книга лежала на столе. $определение«прочитанная»$

Вывод: «прочитав» — деепричастие совершенного вида; это не причастие и не прилагательное. Переформулировки «когда он прочитал книгу» или «после того как он прочитал книгу», а также синтаксические и морфологические тесты подтверждают этот вывод.