Правильно:
Она сказала, что придёт завтра, и мы поверили.

Пояснение:

Запятая перед «что» нужна потому, что «что придёт завтра» — придаточное изъяснительное, вводимое союзом «что», и придаточное отделяется запятой от главной части «Она сказала».Запятая перед «и» нужна потому, что союз «и» соединяет два самостоятельных предложения $сложноепредложение$: «Она сказала, что придёт завтра» и «мы поверили». Запятая перед «и» ставится при соединении двух независимых простых предложений.

Варианты: можно передать речь как прямую: «Она сказала: „Придёт завтра“. Мы поверили.» — в этом случае структура и знаки препинания другие, потому что используется прямая речь.