Часть речи:

причастие (отглагольное слово), точнее — действительное причастие настоящего времени от глагола «писать».

Вид / залог / форма:

вид: несовершенный; залог: действительный; форма: полная форма настоящего действительного причастия (начальная форма: именительный падеж, единственное число, мужской род — «пишущий»).

Грамматические признаки:

время: настоящее (причастное значение настоящего времени); переходность: соответствует переходности основы «писать» (обычно переходное: «пишущий письмо»); изменяется по родам, числам и падежам (напр.: имен. ед.ч. м.р. — пишущий; им. мн.ч. — пишущие; род. ед.ч. — пишущего и т.д.); сохраняет глагольные свойства (возможны зависимые слова: «пишущий письмо», «пишущий сейчас»).

Синтаксическая роль:

чаще всего определение (атрибут), входит в состав причастного оборота; может выступать в роли именной части сказуемого в сочетании с вспомогательным словом (редко) или как имя (существительное) — «пишущий» = «тот, кто пишет» (подлежащее или предикативная роль).

Возможные омонимичные прочтения и способы различения:
((1)) причастие действительное настоящее («пишущий» = «который пишет»). Признаки: сохраняет глагольные зависимости — может иметь зависимые слова (объект, обстоятельство): «пишущий письмо», «пишущий сейчас»; заменяется родствен­ной придаточной/относительной конструкцией «который пишет».

((2)) отглагольное прилагательное (атрибутивное, утрачивает глагольные свойства). Признаки: не имеет зависимых глагольных слов, ведёт себя как прилагательное (полная парадная пара, сравнительная степень — при возможности), заменяется на обычное прилагательное по смыслу. Проверка: если слово нельзя расширить зависимым объектом (*«пишущий письмо» невозможно), то скорее прилагательное; если заменяется на «который пишет» — причастие.

((3)) существительное (деепричастная номинализация: «пишущий» = «тот, кто пишет»). Признаки: выступает в роли имени (подлежащее, сказуемое), сочетается с определениями и падежными формами как существительное, не имеет зависимых глагольных дополнений. Проверка: можно поставить вопрос «кто?» — «пишущий» = «кто? — пишущий».

Короткий способ различения (эмпирическое правило):

если есть зависимые слова, свойственные глаголу (объект, обстоятельство действия) → причастие; если таких зависимых слов нет и слово полностью ведёт себя как прилагательное → прилагательное; если слово выступает как имя и отвечает на вопросы «кто?/что?» без глагольных зависимостей → существительное.