Однородные члены — это члены многочлена или функции, у которых одинаковая степень (порядок). Кратко:
Определение: одночлен (a\,x_1^{\alpha_1}\dots x_n^{\alpha_n}) имеет степень (\alpha_1+\dots+\alpha_n). Члены с одинаковой суммарной степенью называют однородными. Однородный многочлен степени (k): сумма однородных членов степени (k). Для всех (t) выполняется [ P_k(t x_1,\dots,t x_n)=t^k P_k(x_1,\dots,x_n). ]Разложение: любой многочлен (P) можно представить как сумму однородных компонентов [ P=\sum_{k\ge0} P_k, ] где (P_k) — однородный многочлен степени (k).Свойства: Произведение: если (A) однороден степени (m), а (B) — степени (n), то (AB) однороден степени (m+n).Теорема Эйлера для гладкой однородной функции степени (k): [ \sum_{i=1}^n x_i\frac{\partial f}{\partial x_i}=k f. ]
Замечание: в других контекстах (например, дифференциальные уравнения) слово «однородный» означает, что правая часть равна нулю (однородное уравнение).
Однородные члены — это члены многочлена или функции, у которых одинаковая степень (порядок). Кратко:
Определение: одночлен (a\,x_1^{\alpha_1}\dots x_n^{\alpha_n}) имеет степень (\alpha_1+\dots+\alpha_n). Члены с одинаковой суммарной степенью называют однородными. Однородный многочлен степени (k): сумма однородных членов степени (k). Для всех (t) выполняется[
P_k(t x_1,\dots,t x_n)=t^k P_k(x_1,\dots,x_n).
]Разложение: любой многочлен (P) можно представить как сумму однородных компонентов
[
P=\sum_{k\ge0} P_k,
]
где (P_k) — однородный многочлен степени (k).Свойства:
Произведение: если (A) однороден степени (m), а (B) — степени (n), то (AB) однороден степени (m+n).Теорема Эйлера для гладкой однородной функции степени (k):
[
\sum_{i=1}^n x_i\frac{\partial f}{\partial x_i}=k f.
]
Замечание: в других контекстах (например, дифференциальные уравнения) слово «однородный» означает, что правая часть равна нулю (однородное уравнение).