Правильный вариант: «Сходи за мелом».

Кратко: связь управления — здесь глагол требует дополнения с предлогом и существительным в определённом падеже («за мелом»). Другие варианты — примыкание (наречия «сегодня», «правильно», «весной») или подлежащее («бабушка»).