Коротко и по делу.

Общее правило:

Если слово с не — прилагательное (обозначает свойство) и без не сохраняет смысл, или его можно заменить синонимом без не, — пишем слитно: непрочитанное письмо (как «непрочитанное = ещё не прочитанное», качество).Если это полное причастие (действие), особенно с зависимыми словами, или есть противопоставление/усиление отрицания — пишем раздельно: не прочитанное письмо.

Примеры и объяснения:
1) Слитно: «Я взял непрочитанное письмо.»
Пояснение: слово выступает как прилагательное — «письмо, которое было/остаётся непрочитанным», признаковое значение; нет зависимых слов. Слитное написание подчёркивает качество «непрочитанное (то есть ещё не читанное)».

2) Раздельно: «Я нашёл не прочитанное мной письмо, а подписанное другим сотрудником.»
Пояснение: здесь это полное причастие с зависимым словом «мной» и есть противопоставление («не… а…»). «Не» логически отрицает факт совершённого действия — поэтому раздельно: «не прочитанное».

Ещё важные моменты:

Краткие формы причастий/страдательных причастий пишутся с «не» раздельно: «Письмо не прочитано.»При наличии зависимых слов (наречий времени, деятеля и т. п.): «не прочитанное вчера письмо» — раздельно.Если можно заменить сочетание одним синонимом без «не», обычно пишут слитно: «непрочитанное = ещё не открытое» (замена не всегда дословная, но смысл качества).

Итого: выберите слитное написание, когда слово стало прилагательным (качество) и нет зависимых слов; выберите раздельное, когда это отрицание действия (особенно при наличии зависимых слов или противопоставления).