Правило (кратко): деепричастие и деепричастный оборот обозначают добавочное действие и обычно обособляются запятыми (т. е. отделяются от остальной части предложения). Запятая ставится и при одиночном деепричастии, и при деепричастном обороте; важно также, чтобы деепричастие относилось к подлежащему главного предложения (иначе смысловая ошибкa — «несогласованное деепричастие»).

Исправление и объяснение:
Правильно: Не желая опоздать, он побежал на остановку.

Почему: «Не желая опоздать» — деепричастный оборот (деепричастие «не желая» + зависимое слово «опоздать»), поэтому он должен быть отделён запятой. Смыслово этот оборот относится к подлежащему «он», значит конструкция корректна.