Деепричастный оборот — это обстоятельство, выраженное деепричастием с зависимыми словами; он обособляется запятой. В предложении «Прочитав письмо, он усмехнулся» оборот указывает на предшествующее по отношению к глаголу состояние/действие: «прочитал письмо и (после этого) усмехнулся» (деепричастие совершенного вида).
Типичные ошибки при употреблении деепричастного оборота:
$1$ «Висящее» деепричастие (несовпадение подлежащего). Подлежащее деепричастного оборота должно совпадать с подлежащим главного предложения. Неправильно: «Прочитав письмо, стало ясно…» (кто прочитал?). Правильно: «Прочитав письмо, он понял…»
$2$ Ошибки аспекта/времени: выбор «прочитав» (предшествующее действие) vs «читая» (одновременное). Значение меняется: «Прочитав письмо, он усмехнулся» = после прочтения; «Читая письмо, он усмехался» = во время чтения. Выбор неверного деепричастия искажет смысл.
$3$ Пунктуация: пропуск запятой («Прочитав письмо он усмехнулся») — ошибка.
$4$ Отсутствие явного подлежащего в главном предложении: «Прочитав письмо, усмехнулся» — стилистически плохо и может быть непонятно.
$5$ Чрезмерное или неуместное употребление длинных деепричастных оборотов приводит к затруднённому восприятию; лучше разделить на простые предложения.
Кратко: в данном предложении деепричастный оборот — обстоятельство, выражающее предшествующее действие; следите, чтобы подлежащее совпадало, правильно выбирали вид деепричастия и не забывали запятую.