Варианты корректной пунктуации (рекомендуемые):
1) «Он пришёл, усталый. Дети играют, но ему было всё равно.»
2) «Он пришёл, усталый; дети играют, но ему было всё равно.»
(вместо точки можно поставить точку с запятой — она показывает более тесную связь предложений)
Объяснение:
- Запятая после «пришёл» нужна потому, что «усталый» здесь — обособленное определение/уточняющее замечание о состоянии подлежащего (сопутствующее обстоятельство). Такое определение обычно выделяется запятой: «Он пришёл, усталый.»
- Между двумя самостоятельными простыми предложениями («Он пришёл, усталый» и «Дети играют, но ему было всё равно») нельзя ставить одну только запятую — это ошибка (так называемая «слитная запятая»). Их разделяют точкой, точкой с запятой или (в зависимости от интонации) тире.
- Перед союзом «но» ставится запятая, так как он соединяет две части сложного предложения: «Дети играют, но ему было всё равно.»
Коротко: вариант с одной только запятой в исходном месте («Он пришёл усталый дети играют…») неверен; правильнее — «Он пришёл, усталый. Дети играют, но ему было всё равно.» (или с точкой с запятой вместо точки).