Коротко и по делу — зависимости от смысла выбирается одна из нормальных конструкций.
1) Если хочется передать только его вопрос (авторские слова перед репликой):
Он спросил: «Ты придёшь?»
Правило: перед прямой речью после слов автора ставится двоеточие.
2) Если прямая речь идёт первой, а за ней следуют слова автора:
«Ты придёшь?» — спросил он.
Правило: вопросительный знак остаётся внутри кавычек; затем ставится пробел, длинное тире и слова автора с маленькой буквы.
3) Если прямая речь содержит и вопрос, и призыв (всё внутри кавычек):
Он спросил: «Ты придёшь? Ответь».
или
«Ты придёшь? Ответь», — сказал он.
Правило: внутри кавычек могут быть несколько предложений; вопросительный знак сохраняется, следующее предложение (внутри кавычек) пишется с заглавной буквы.
4) Если после прямой речи идёт обращение к читателю (команда вне реплики):
Он спросил: «Ты придёшь?» Ответь.
Правило: после закрывающей кавычки ставится точка/вопросительный знак, далее — новое предложение с заглавной буквы.
Что неверно в вашем варианте «Он спросил — «Ты придёшь?» — ответь;»
- Нельзя ставить тире перед кавычками вместо двоеточия после слов автора: правильно — «Он спросил: «Ты придёшь?»».
- Если «ответь» — отдельное предложение, оно должно начинаться с заглавной буквы и отделяться точкой/вопросительным знаком, а не тире: «…?» Ответь.
- Точка с запятой после «ответь;» в данном контексте странна — лучше точка или восклицание.
Резюме — наиболее вероятные корректные варианты:
- Он спросил: «Ты придёшь?»
- «Ты придёшь?» — спросил он.
- Он спросил: «Ты придёшь? Ответь.» (если «ответь» — часть прямой речи)
- Он спросил: «Ты придёшь?» Ответь. (если «ответь» — отдельная команда вне прямой речи)