Запятая нужна: «Если бы он пришёл, мы бы начали без промедления.» — здесь первая часть — придаточное условное, вторая — главное; придаточное, стоящее перед главным, отделяется запятой обязательно.
Перестановка частей: «Мы бы начали без промедления, если бы он пришёл.» — запятая тоже нужна (главное и придаточное всё равно разделяются). Смысл меняется мало по содержанию (в обоих вариантах условие нереально/гипотетично: он не пришёл, поэтому не начато), но меняется интонация и фокус:
- «Если бы он пришёл, мы бы начали…» — акцент на условии, подчёркнуто предположение;
- «Мы бы начали…, если бы он пришёл» — акцент на результате (мы бы начали) с добавленным условием.
Примечания: форма «мы начали бы» или «мы бы начали» равноправны; положение «бы» не влияет на постановку запятой.