Нужно ставить запятую: правильно — «Он сказал, что придёт завтра.»
Почему: «что» здесь вводит придаточное изъяснительное предложение, которое отделяется запятой от главного (глагол речи «сказал» + содержание сказанного). Это общая пунктуационная норма для придаточных изъяснительных.
Варианты:
- Прямая речь: Он сказал: «Я приду завтра.» (тогда двоеточие и кавычки).
- В разговорной письменной речи запятую иногда опускают, но в литературном и официальном языке её ставить нужно.