Коротко — по правилам и по ошибкам.
1) Общие правила для сложных числительных
- Окончание последних слов «один/два» согласуется по роду с существительным: для мужского — «один», для женского — «одна», для среднего — «одно», для двух — «два/две» (жен. — $две$).
Примеры: «двадцать один студент» ($21$), «двадцать одна студентка» ($21$), «двадцать одно яблоко» ($21$) — ошибка: «двадцать одно студент».
- Окончание самого существительного зависит от последних цифр числа: если число оканчивается на $1$ (кроме $11$) — существительное в форме именительного единственного: «$21$ студент»; если на $2$–$4$ (кроме $12$–$14$) — форма родительного единственного: «$22$ студента»; если на $5$–$9$, $0$ или на $11$–$14$ — родительный множественного: «$25$ студентов».
2) «двадцать один студент» ($21$)
- Правильно: «двадцать один студент» — потому что «один» муж. род, существительное в ед. числе.
- Возможные оговорки/ошибки: «двадцать одно студент» (неправильно — род «одного» не согласован), либо неверная форма существительного «двадцать один студента» (ошибка: после $21$ — ед. имя).
3) «две тысячи двадцать первого года» / годовые сочетания (пример $2021$)
- «Тысяча» — существительное женского рода, поэтому для $2000$ правильно «две тысячи» (не «два тысячи»).
- Название года обычно строится как сочетание количественного (тысячи) + порядкового (двадцать первый) + «год»: именительный для названия года — «две тысячи двадцать первый год» ($2021$).
- При изменении падежа вся числовая группа должна согласоваться с падежом (строго):
Н.ф.: «две тысячи двадцать первый год» ($2021$)
Р.ф.: «(начало) двух тысяч двадцати первого года»
П.ф. с «в»: корректно строго — «в двух тысячах двадцать первом году».
- Частая разговорная форма: «в две тысячи двадцать первом году» — широко употребляется, но стилистически и с точки зрения согласования это смешение (частично не просклонено). Особенно грубая ошибка — не поставить «две» в нужную форму в явно требующем падеже: «начало две тысячи двадцать первого года» (правильно «начала двух тысяч...») — это ошибка.
4) Итог — на что смотреть
- Согласование «один/одна/одно», «два/две» с родом существительного.
- Форма существительного после сложного числа определяется последней цифрой числа (учитывать исключения $11$–$14$).
- При склонении числительных всю группу надо приводить в соответствующий падеж (особенно с «тысяч(а)»): избегайте оставлять «две тысячи» в именительном, когда контекст требует родительного/предложного и т.д.
- Для лет предпочтительнее использовать порядковый член («двадцать первый») и склонять конструкцию согласованно: «двух тысяч двадцати первого года», «в двух тысячах двадцать первом году».
Если нужно, могу привести таблицу форм для $21$, $22$, $25$, $2000$, $2021$ во всех падежах.