Правильный вариант в предложении «Он начал жить по-новому» — по-новому. Обоснование: сочетание «по-» + форма прилагательного на «-ому/-ему» образует наречие и пишется через дефис (по-новому, по-другому, по-старому). В то же время «по» + дательный падеж прилагательного перед существительным пишется раздельно (предлог + определение).
Примеры контекстов:
$1$ По-новому (наречие): «Он начал жить по-новому» — означает «в новый, другой способ/образ жизни» (наречие, дефис обязательно).
$2$ По новому (предлог + прилагательное + существительное): «Оплата будет производиться по новому договору» — здесь «по» управляет дательным падежом «новому» и связано с существительным «договору», дефис не нужен.