Правильно: «сегодняшний день».
Пояснение: «сегодняшний» — это прилагательное (образовано от «сегодня» при помощи суффикса -шний) и в сочетании с существительным «день» пишется раздельно как «прилагательное + существительное». Аналогично: «завтрашний вечер», «вчерашний праздник».
Дефис употребляется в других случаях — при сложных словах, где части равноправны (юго-западный — через дефис), в некоторых собственных названиях и сложных словах с элементами типа «премьер-министр», либо при присоединении приставок/частей (англо-русский). Для «сегодняшний день» дефис не нужен; вариант «сегодняшний-день» и слитный «сегодняшнийдень» неверны.