Правильный вариант: «Он по-прежнему надеется.»
Объяснение: «по‑прежнему» — наречие, пишется через дефис и означает «как раньше, по-прежнему». Вариант раздельно — «по прежнему» — возможен, когда это предлог «по» + прилагательное в дательном падеже, согласованное с существительным: «по прежнему обычаю», «по прежнему плану» (то есть «в соответствии с прежним обычаем/планом»). В вашем предложении стоит наречие, поэтому нужен дефис.