Правильно: «вследствие болезни» (одно слово) — предлог, значит «из‑за», «по причине»: «Вследствие болезни он не пришёл».
«В следствие болезни» (раздельно) — сочетание предлога «в» + существительного «следствие» (расследование). Такой вариант означает направление или местонахождение в расследовании: «Материалы передали в следствие» или «В следствии дела обнаружены новые факты».
Критерий выбора: если можно заменить на «из‑за» / «по причине», пишите слитно «вследствие». Если речь о существительном «следствие» (расследовании) и «в» выступает как предлог направления/места, пишите раздельно «в следствие» (или «в следствии» — в форме падежа).