Исправления:
1) Если предложение само по себе (без внешних кавычек):
Он сказал: «Я приду» и ушёл.
Пояснение: двоеточие после «сказал» вводит прямую речь; кавычки окружают прямую речь. Запятая перед «и ушёл» не нужна — «сказал» и «ушёл» — однородные сказуемые с общим подлежащим.
2) Если исходный текст был в кавычках (вложенная цитата), нужно разные типы кавычек:
«Он сказал: „Я приду“ и ушёл».
Пояснение: при вложенных кавычках по правилам русского набора внешний уровень — «…», внутренний — „…“.
Дополнительно (стилистически допустимо): для более резкого интонационного разделения можно поставить тире:
Он сказал: «Я приду» — и ушёл.
Кратко о ошибках в исходном варианте «Он сказал: «Я приду» и ушёл»: использованы одинаковые кавычки для внешней и внутренней цитат; пунктуация вокруг прямой речи оформлена неправильно при вложении.